Contratto quasi scaduto e nuovo lavoro

Buongiorno,
vi spiego la mia situazione. Avevo un contratto di 6 mesi. Dato che attualmente non c'è da fidarsi di nessuno, quando ho visto che il termine si stava avvicinando ho iniziato a mandare Cv, per non restare senza lavoro, cosa che non mi posso assolutamente permettere. Ovviamente l'ho fatto perché ho visto che l'azienda non mi accennava la possibilità di un rinnovo. Ebbene, il giorno dopo la scadenza mi hanno detto del rinnovo, altri 6 mesi. Nel frattempo ho trovato un altro lavoro, meglio remunerato e più gratificante. La prima azienda sostiene sarei obbligato ad accettare il loro rinnovo nonostante il preavviso pari a zero! È vero? Come funziona in casi come questo? Grazie